Король математиков-любителей Пьер де Ферма и его Великая теорема

История знает немало математиков-самоучек, чей гениальный и любознательный разум не единожды раздвигал границы человеческого знания. Достаточно вспомнить античных философов и ученых, таких как Пифагор, Архимед, Евклид, Эратосфен или Герон Александрийский. Однако они жили так давно, что само их существование окутано дымкой легендарности и до нас дошли только их великие идеи. Поэтому давайте обратим наш взор на времена не столь давние и поговорим о выдающемся человеке жившем сравнительно недавно, на стыке эпох Возрождения и Нового времени. Это дилетант, совершивший поразительные открытия, подобные теореме на века лишившей математиков всего мира сна и покоя – Пьер де Ферма.

Портрет Пьера де Ферма (XIX в., художник Роллан Лефевр) Источник: Wikimedia Commons (Musée d'art et d'histoire de Narbonne, Public Domain)

Будущий математический гений родился в начале XVII века, на родине знаменитого д’Артаньяна – в области Гасконь на юге Франции. Точная дата его рождения неизвестна, по одной версии это лето 1601, по другой – конец 1607 года. Детство мальчика прошло в небольшом городке Бомон-де-Ломань. Его матерью была Клэр де Лонг – дочь дворянина и юриста парламента, а отцом Доминик Ферма – также не последний человек в городе: буржуа, консул и процветающий торговец кожей. Кроме Пьера у них родились еще один сын и две дочери. Семья проживала в особняке, в наше время ставшем музеем.

В 1980 году аббат Дюгро выдвинул версию, что на самом деле Пьер был сыном Ферма от его первого брака с купеческой дочерью Франсуазой Казенев. Но эта гипотеза не пользуется особой популярностью.

Задний двор дома в Бомон-де-Ломань, где родился Пьер Ферма. Справа можно заметить пристроенную к дому башню со смотровой площадкой Источник: Wikimedia Commons (Klaus Barner, CC BY-SA 3.0)

Деньги отца и связи матери позволили Пьеру Ферма получить хорошее образование. В детстве он учился у монахов из монастыря Грансельв. Затем юноша постигал азы престижной юриспруденции сначала в одном из старейших европейских университетов Тулузы, а впоследствии в Бордо и Орлеане. Итогом обучения стала степень бакалавра права. Впрочем, нам мало что известно о юности этого великого любителя математики.

Орлеанский университет – один из старейших университетов Европы, основанный в 1306 году. На современном фото показан административный корпус с цветочным садом перед ним Источник: Wikimedia Commons (Fab5669, CC BY-SA 4.0)

В 1631 году молодой юрист получил пост советника парламента Тулузы и члена палаты по рассмотрению прошений. Интересно, что эту должность он, как это тогда было заведено, выкупил за 43,5 тысячи фунтов у вдовы предыдущего владельца этой должности. В этом же году он обвенчался с Луизой де Лонг, приходящейся кузиной его матери. Известно, что у них родилось 8 детей, пятеро из которых дожили до совершеннолетия.

Подписи Пьера Ферма и Луизы де Лонг, а также свидетелей, на брачном договоре от 18 февраля 1631 г. Источник: Wikimedia Commons (Klaus Barner, CC BY-SA 3.0)

Большинство детей Пьера Ферма также сделали неплохую карьеру. Так старший сын, Клемент-Самюэль, пошел по стопам отца и унаследовал его должность в суде; Жан – добился поста архидьякона; внук Клэр стал советником; а Катерина и Луза, по всей видимости, посвятили себя религии.

Дела Пьера шли в гору, он поднимался по карьерной лестнице, получив место советника в высшем суде Тулузы, а затем, разменяв пятый десяток лет, должность советника Палаты эдиктов в городе Кастр. Примечательно, что судейская мантия обеспечила ему право на дворянскую приставку к фамилии, и отныне он стал именоваться де Ферма.

Тулуза, улица Сен-Ремези, где проживал Пьер де Ферма (фото 2007 г.) Источник: Wikimedia Commons (Klaus Barner, CC BY-SA 3.0)

Успешная карьера, семья, спокойная жизнь в провинции (и это в бурную эпоху кардинала Ришелье!) – казалось бы, чего еще можно пожелать? Но пытливому уму Ферма этого было мало. Все свободное время мужчина тратит на самообразование и математические изыскания. Основой его математических знаний служат труды древнегреческих авторов и работы Франсуа Виета – одаренного французского математика XVI века. Ферма не был профессионалом, но его достижения столь значимы, что его прозвали «королем любителей».

Рукописный комментарий Ферма на полях книги с работами Аполлония Пергского Источник: Wikimedia Commons (Klaus Barner, CC BY-SA 3.0)

Например, когда ему не было и 30 лет, он смог восстановить одну из утерянных математических работ знаменитого древнегреческого геометра Аполлония Пергского, опираясь на обрывочные сведения из трудов греческих и арабских авторов. К числу его достижений принадлежит разработка аналитической геометрии – исследование геометрических фигур алгебраическими методами. Примечательно, что если Декарт ограничился 2-мя измерениями (фигуры на плоскости), то Ферма пошел дальше и применил принципы аналитической геометрии к трехмерному пространству. Кроме того он внес большой вклад в развитие математического анализа, теории чисел и теории вероятностей.

Со знаменитым философом и математиком Рене Декартом у Ферма вышел конфликт. В их противостоянии было все: от критики работ и обвинений в плагиате, до состязаний в силе ума. К сожалению, подобные истории не редкость в научной среде, достаточно вспомнить спор Ньютона с Лейбницем по поводу авторства дифференциального и интегрального исчисления.

Гравюра с портертом Пьера де Ферма (XVII в., художник Франсуа де Пуйи Старший) Источник: Wikimedia Commons (Public Domain)

Математические заслуги Ферма разнообразны и обширны, но подлинную славу ему принесла его «Великая теорема» (иначе «Большая теорема Ферма», «Последняя теорема Ферма»). Как и многие его открытия, она формулируется настолько просто, что ее без труда поймет даже далекий от математики человек. Теорема утверждает, что для любого натурального числа n > 2 (то есть 3, 4, 5… и т.д.), уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ, не имеет решений для целых ненулевых чисел a, b и c.

Решение для n = 2 найти нетрудно: 3² + 4² = 5². Возведя числа в квадрат получим: 9 + 16 = 25. Но в самом ли деле подобного решения не существует для n = 3 и более? Несмотря на кажущуюся простоту задачи, она тот еще крепкий орешек!

Издание «Арифметики» Диофанта 1670 года, с комментарием Ферма содержащим его Великую теорему (лат. «Observatio Domini Petri de Fermat») Источник: Wikimedia Commons (Public Domain)

Но неужели, придумав теорему, Ферма не оставил ее доказательства? Увы, нет, хотя по его утверждению оно было. Дело в том, что великий математик очень редко объяснял, и почти никогда не публиковал свои открытия. Вместо этого он имел привычку делать заметки на полях изучаемых математических трактатов. Вот и свою Великую теорему Ферма сформулировал на полях «Арифметики» – рукописи древнегреческого математика Диофанта. Рядом он оставил пометку, гласящую что он нашел «чудесное доказательство» этой теоремы, но «поля книги слишком узки для него». Впоследствии Пьер де Ферма привел частное решение для n = 4 и упоминал о методе решения для n = 3. Но «чудесного» полного решения так и не раскрыл.

Кроме любви к математике, Ферма отличался эрудицией и занимался переводами научных трудов, а также был полиглотом – свободно владел французским и окситанским (язык коренного населения юга Франции), латынью и классическим греческим, итальянским и испанским. Также известно, что он писал неплохие стихи на разных языках. Современники отзывались о нем, как о честном, приветливом и аккуратном человеке.

Великая или Последняя теорема Ферма стала широко известна только после его смерти, когда ее в числе других заметок в 1670 году опубликовал Клеман-Самуэль (унаследовавший от отца увлечение математикой). С этого момента ее загадка на протяжении более 300 лет будоражила умы профессиональных математиков и дилетантов-любителей. Если автор теоремы смог найти ее остроумное доказательство, то возможно это смогут сделать и они? Так рассуждали Эйлер, Дирихле, Лежандр, Софи Жермен и другие выдающиеся математики, которым удалось найти частичное доказательство Великой теоремы Ферма для отдельных значений n.

Пьер де Ферма (картина XVII в., автор неизвестен) Источник: Wikimedia Commons (Public Domain)

Однако, несмотря на то, что многие ученые буквально положили жизнь на полное решение теоремы Ферма, оно упорно от них ускользало. Прорыв произошел лишь в конце XX века, когда немецкий математик Герхард Фрай предположил, а его американский коллега Кен Риберт доказал, что Великая теорема Ферма следует из гипотезы Таниямы – Симуры. Докажешь ее и решение каверзной теоремы у тебя в кармане. Этот интеллектуальный подвиг совершил в 1994 году преподаватель и профессор математики Эндрю Джон Уайлс. Узнав о загадке Ферма еще ребенком, он потратил на поиски решения около 8 лет жизни. Наконец, при помощи коллег и современных методов, сэр Уайлс разработал и опубликовал в 1994 году 130-страничное доказательство Великой теоремы.

Интересно, что Великая теорема Ферма также следует из abc-гипотезы. О доказательстве последней в 2012 году объявлял японский математик Синъити Мотидзуки. Однако его работа настолько сложна и объемна, что математическое сообщество до сих пор не смогло понять, верна она или же нет.

Профессор Эндрю Джон Уайлс на вершине башни дома, где родился Ферма (фото 1995 г.) Источник: Wikimedia Commons (Klaus Barner, CC BY-SA 3.0)

Казалось бы, на этом в истории о Великой теореме Ферма можно ставить точку. Но, нет. До сих пор множество людей по всему свету пытается найти более простое доказательство теоремы. К этому их побуждает то, что решение Уайлса слишком сложное, а Ферма явно говорил о более простом (хотя стоит учесть, что великий математик мог и ошибаться). В основном это хобби математиков-любителей, использующих элементарные методы и допускающих в своих «доказательствах» такие же элементарные ошибки. У этих энтузиастов даже есть собственное имя: «ферматики» или «ферматисты».

Возможно, вам интересно, чем так полезна знаменитая теорема Ферма? Сама по себе она не имеет особого практического применения. Но вековые поиски ее доказательства оказали колоссальное воздействие на развитие математики.

Но вернемся к самому Пьеру де Ферма. В начале 1650-х разразилась эпидемия чумы, и было объявлено об его кончине. Ферма действительно заразился, но выжил, о чем ему и пришлось сообщить, дабы пресечь подобные слухи. Из-за того, что умерло много коллег Пьера, его повысили до высшего парламентского судьи рассматривающего уголовные дела. Однажды ему даже пришлось участвовать в судебном деле о приговорении к сожжению священника, что на несколько месяцев выбило его из колеи.

Терракотовый бюст Ферма в тулузском Капитолии Источник: Wikimedia Commons (Public Domain)

Пьер де Ферма скончался в 57-летнем возрасте 12 января 1665 года. Это случилось в городе Кастр, прямо во время выездной сессии суда.

Без сомнения, Ферма был неординарным человеком. Юрист и чиновник, и в то же время – страстный любитель математики. Он не писал книг, ограничиваясь заметками на полях и письмами к коллегам. В отличие от других великих ученых его времени, наподобие Декарта или Ньютона, он был сконцентрирован только на одном методе познания действительности – математическом.

Каменная скульптура Пьера де Ферма (фото 1995 г., в 2013 году статуя была заменена на бронзовую) Источник: Wikimedia Commons (Klaus Barner, CC BY-SA 3.0)

Однако, будучи одним из первых математиков Франции, он внес огромный вклад в развитие этой науки: создал аналитическую геометрию, разработал основы теории вероятностей, уточнил закон распространения света, раньше Ньютона стал использовать дифференциальные методы (именно идеи Ферма подтолкнули великого физика к созданию математического анализа), и, как главное достижение, создал теорию чисел – раздел математики, изначально изучающий свойства целых чисел. Неудивительно, что Пьер де Ферма и его Великая теорема до сих пор будоражат ум и воображение математиков всего мира.